Los estudiantes de los últimos años de primaria y de secundaria tienen la edad idónea para aprender a pensar en forma sofisticada, abstracta, formal. Pero no todos llegan a dominar esta forma de pensamiento. Evidentemente, es deseable llegar a pensar con la mayor sofisticación posible en este mundo contemporáneo tan competitivo, globalizado y enfocado a la información, su comprensión y su procesamiento. En este artículo presentamos una metodología para que el maestro de matemáticas de los últimos años de primaria y de secundaria ayude al estudiante a acostumbrarse a pensar formalmente.
Jean Piaget (1896 -1980), el famoso investigador suizo del aprendizaje y el desarrollo y fundador de la epistemología genética, planteó que el desarrollo cognoscitivo tiene cuatro etapas: la sensorio-motriz (0-2 años), la pre-operatoria (2-6 años), la de operaciones concretas (7-11) y la de operaciones formales o abstractas.
En sus primeras obras postuló que la etapa de pensamiento formal o abstracto empieza, aproximadamente, a los 11 años y se consolida hacia los 15. En esa época Piaget consideraba inevitable llegar a esta etapa que se caracteriza por el pensamiento hipotético deductivo (método científico), la combinatoria, la lógica proposicional, la reversibilidad y las proporciones. El tipo de pensamiento característico en este estadio es el lógico, matemático y científico que los adultos manejan cotidianamente y que nuestros estudiantes deberían de poder consolidar hacia la edad mencionada.
Sin embargo, en obras posteriores, Piaget llegó a reconocer que tal vez no todas las personas llegan a la etapa de operaciones formales. Considerando las edades de los estudiantes de los lectores de esta revista, es de suma importancia comprender qué constituye el pensamiento formal y cómo fomentarlo en los últimos años de primaria y en secundaria. En este artículo abordaremos una porción pequeña del problema global de cómo ayudar al estudiante a pensar formalmente.
Una característica fundamental de este tipo de pensamiento es que se examina el problema cuidadosamente con el fin de determinar todas las posibles soluciones y posteriormente se intenta descubrir de modo sistemático cuál de ellas es la adecuada. En otras palabras, el sujeto que piensa en forma abstracta parte de lo posible hacia lo real; en los estadios anteriores, el sujeto necesita apoyarse en lo real para llegar a la solución. Por ejemplo, al preguntársele cuántas permutaciones (arreglos) diferentes se pueden lograr apilando bloques de cuatro colores diferentes, el niño con pensamiento concreto atacará el problema apilando los bloques, mientras que el sujeto con pensamiento abstracto probablemente simbolice los cuatro colores por números y vea cuántas combinaciones son posibles, de forma sistemática y sin referirse a los bloques, logrando algo similar a esto:
1234, 2134, 3124, 4123, 1243, 2143, 3142, 4132, 1324, 2314, 3214,4213 , 1342, 2341, 3241, 4231, 1423, 2413, 3412, 4312, 1432, 2431
De hecho, algunos sujetos serán capaces de deducir que hay 24 permutaciones posibles después de haber enlistado los arreglos de la primera columna, que son seis, y percatarse que así como hay seis arreglos posibles empezando con el uno, habrá seis arreglos posibles empezando con el dos, seis empezando con el tres y seis con el cuatro. Se entiende que los sujetos no conocen el cálculo de probabilidad ni la fórmula para encontrar el número de permutaciones de n objetos, n! (n factorial).
Examinar cuidadosamente el problema no es sólo no equivocarse al copiarlo de la tarea. Es definir qué es lo que se pide, encontrar la estrategia adecuada para atacar el problema y estimar el resultado. Yo he encontrado en mis estudiantes de primero de secundaria que son capaces de resolver mecánicamente el problema:
2/5 + 3/25 = 13/25
Pero que no tienen idea de qué significa el resultado 13/25. ¿Qué número es 13/25?, les pregunto. Generalmente me contestan: 0.2, 2, ó 0.02, pero nadie dice: "Aproximadamente un medio, o sea, 0.5". ¿De qué sirve saber hacer la operación si no se entiende el resultado? Y, ¿cómo se va a entender el resultado si no se ha examinado el problema?.
Las ideas concretas que propongo a continuación inducen al estudiante a examinar el problema detalladamente antes de empezar a resolverlo. La primera sugerencia es plantear el problema y pedir una respuesta aproximada sin dar tiempo a que ejecuten la operación. Por ejemplo:
¿Cuál es el promedio de los siguientes números: 13, 14, 14, 14, 14, 15?
Si se examina el problema antes de empezar a sumar los números, se notará que todos los números se acercan al 14, por lo que el promedio debe ser "alrededor de 14". Con un examen más cuidadoso, se puede notar que los dos números que no son 14 (13 y 15), se promedian a 14, por lo que el promedio será exactamente 14.
La segunda sugerencia es plantear dos problemas, aparentemente muy parecidos, y pedir la solución a cualquiera de ellos. Uno es mucho más fácil de resolver que el otro, pero sólo el cuidadoso examen determinará cuál. Por ejemplo:
Resuelve uno de los dos siguientes problemas:
A (7/22)
B(7/21)
Obviamente, la opción B es muy fácil de resolver si se detecta que 7/21 es 1/3. Muchos estudiantes de secundaria, confrontados con este problema, se ponen a elevar 7 al cubo, y luego 21 o 22 al cubo. Claro que se puede llegar a la respuesta correcta por esta vía pero es más tardado y más difícil (simplificar 343/9261 es casi imposible).
La tercera sugerencia es la de poner problemas largos pero que se pueden simplificar, como:
Si x=2, entonces; ¿cuánto es:
(2x-13) (x+3)(x-2)(x+8)?
En vez de sustituir el valor de x, basta darse cuenta de que uno de los términos, (x-2), es igual a 0 por lo que todo equivale a 0.
La cuarta sugerencia es poner problemas cuya respuesta no se puede determinar con la información proporcionada. Por ejemplo:
Las casas de Juan, María y Pedro están sobre la misma calle, la cual es recta. Si Juan vive a 5 km de María y María a 6 km de Pedro ¿a cuántos km de distancia vive Juan de Pedro?
Para este problema hay dos soluciones posibles, ilustradas a continuación:
a) JM P - Juan vive a 11 km de Pedro.
b) M JP - Juan vive a 1 km de Pedro.
No se propone cambiar el enfoque del curriculum de matemáticas de la sep, ni los contenidos; sólo se propone que el formato de algunas preguntas o ejercicios utilizados para reforzar los temas oficiales obliguen al cuidadoso examen del problema. Se pueden formular ejercicios como los anteriores lo mismo para álgebra que para geometría, logaritmos, operaciones o cualquier otro tema de matemáticas.
El hábito de examinar cuidadosamente un problema antes de abordarlo no sólo les servirá a nuestros alumnos en la asignatura de matemáticas. En nuestra vida cotidiana somos bombardeados por peticiones de información. Si podemos definir la esencia de lo que se nos pregunta, seremos compañía más agradable, empleados más eficientes o jefes más efectivos. ¿Quién no se ha desesperado con personas que, al preguntarles si les gustó la película de estreno, contestan con la historia de cómo fue que la grúa se llevó su coche al corralón por estacionarlo frente al cine? Evidentemente, la habilidad de comunicarse efectivamente ayuda en cualquier trabajo, y la posibilidad de tansmitir información eficientemente parte de la comprensión correcta de la pregunta.
Por otro lado, muchas pruebas de admisión a diferentes instituciones educativas piden que se lea cuidadosamente la pregunta, y que se escudriñen las respuestas de opción múltiple, para ver el grado de exactitud de la respuesta. Si en una prueba de este tipo las respuestas posibles que se ofrecen a la pregunta:
¿A qué equivale 13/25?, son las siguientes:
a) 0.02
c) 0.52
b) 0.2
d) 2
No es necesario hacer la división, sólo percatarse de que 13/25 es aproximadamente un medio, por lo que la respuesta c debe ser la correcta.
El poner problemas que necesitan examinarse cuidadosamente previo a su resolución se puede hacer en cualquier tema de matemáticas, ayuda a pensar y comunicarse en forma más precisa y contribuye a llegar al estadio de las operaciones formales, etapa culminante del desarrollo cognoscitivo.
Jean Piaget (1896 -1980), el famoso investigador suizo del aprendizaje y el desarrollo y fundador de la epistemología genética, planteó que el desarrollo cognoscitivo tiene cuatro etapas: la sensorio-motriz (0-2 años), la pre-operatoria (2-6 años), la de operaciones concretas (7-11) y la de operaciones formales o abstractas.
En sus primeras obras postuló que la etapa de pensamiento formal o abstracto empieza, aproximadamente, a los 11 años y se consolida hacia los 15. En esa época Piaget consideraba inevitable llegar a esta etapa que se caracteriza por el pensamiento hipotético deductivo (método científico), la combinatoria, la lógica proposicional, la reversibilidad y las proporciones. El tipo de pensamiento característico en este estadio es el lógico, matemático y científico que los adultos manejan cotidianamente y que nuestros estudiantes deberían de poder consolidar hacia la edad mencionada.
Sin embargo, en obras posteriores, Piaget llegó a reconocer que tal vez no todas las personas llegan a la etapa de operaciones formales. Considerando las edades de los estudiantes de los lectores de esta revista, es de suma importancia comprender qué constituye el pensamiento formal y cómo fomentarlo en los últimos años de primaria y en secundaria. En este artículo abordaremos una porción pequeña del problema global de cómo ayudar al estudiante a pensar formalmente.
Una característica fundamental de este tipo de pensamiento es que se examina el problema cuidadosamente con el fin de determinar todas las posibles soluciones y posteriormente se intenta descubrir de modo sistemático cuál de ellas es la adecuada. En otras palabras, el sujeto que piensa en forma abstracta parte de lo posible hacia lo real; en los estadios anteriores, el sujeto necesita apoyarse en lo real para llegar a la solución. Por ejemplo, al preguntársele cuántas permutaciones (arreglos) diferentes se pueden lograr apilando bloques de cuatro colores diferentes, el niño con pensamiento concreto atacará el problema apilando los bloques, mientras que el sujeto con pensamiento abstracto probablemente simbolice los cuatro colores por números y vea cuántas combinaciones son posibles, de forma sistemática y sin referirse a los bloques, logrando algo similar a esto:
1234, 2134, 3124, 4123, 1243, 2143, 3142, 4132, 1324, 2314, 3214,4213 , 1342, 2341, 3241, 4231, 1423, 2413, 3412, 4312, 1432, 2431
De hecho, algunos sujetos serán capaces de deducir que hay 24 permutaciones posibles después de haber enlistado los arreglos de la primera columna, que son seis, y percatarse que así como hay seis arreglos posibles empezando con el uno, habrá seis arreglos posibles empezando con el dos, seis empezando con el tres y seis con el cuatro. Se entiende que los sujetos no conocen el cálculo de probabilidad ni la fórmula para encontrar el número de permutaciones de n objetos, n! (n factorial).
Examinar cuidadosamente el problema no es sólo no equivocarse al copiarlo de la tarea. Es definir qué es lo que se pide, encontrar la estrategia adecuada para atacar el problema y estimar el resultado. Yo he encontrado en mis estudiantes de primero de secundaria que son capaces de resolver mecánicamente el problema:
2/5 + 3/25 = 13/25
Pero que no tienen idea de qué significa el resultado 13/25. ¿Qué número es 13/25?, les pregunto. Generalmente me contestan: 0.2, 2, ó 0.02, pero nadie dice: "Aproximadamente un medio, o sea, 0.5". ¿De qué sirve saber hacer la operación si no se entiende el resultado? Y, ¿cómo se va a entender el resultado si no se ha examinado el problema?.
Las ideas concretas que propongo a continuación inducen al estudiante a examinar el problema detalladamente antes de empezar a resolverlo. La primera sugerencia es plantear el problema y pedir una respuesta aproximada sin dar tiempo a que ejecuten la operación. Por ejemplo:
¿Cuál es el promedio de los siguientes números: 13, 14, 14, 14, 14, 15?
Si se examina el problema antes de empezar a sumar los números, se notará que todos los números se acercan al 14, por lo que el promedio debe ser "alrededor de 14". Con un examen más cuidadoso, se puede notar que los dos números que no son 14 (13 y 15), se promedian a 14, por lo que el promedio será exactamente 14.
La segunda sugerencia es plantear dos problemas, aparentemente muy parecidos, y pedir la solución a cualquiera de ellos. Uno es mucho más fácil de resolver que el otro, pero sólo el cuidadoso examen determinará cuál. Por ejemplo:
Resuelve uno de los dos siguientes problemas:
A (7/22)
B(7/21)
Obviamente, la opción B es muy fácil de resolver si se detecta que 7/21 es 1/3. Muchos estudiantes de secundaria, confrontados con este problema, se ponen a elevar 7 al cubo, y luego 21 o 22 al cubo. Claro que se puede llegar a la respuesta correcta por esta vía pero es más tardado y más difícil (simplificar 343/9261 es casi imposible).
La tercera sugerencia es la de poner problemas largos pero que se pueden simplificar, como:
Si x=2, entonces; ¿cuánto es:
(2x-13) (x+3)(x-2)(x+8)?
En vez de sustituir el valor de x, basta darse cuenta de que uno de los términos, (x-2), es igual a 0 por lo que todo equivale a 0.
La cuarta sugerencia es poner problemas cuya respuesta no se puede determinar con la información proporcionada. Por ejemplo:
Las casas de Juan, María y Pedro están sobre la misma calle, la cual es recta. Si Juan vive a 5 km de María y María a 6 km de Pedro ¿a cuántos km de distancia vive Juan de Pedro?
Para este problema hay dos soluciones posibles, ilustradas a continuación:
a) JM P - Juan vive a 11 km de Pedro.
b) M JP - Juan vive a 1 km de Pedro.
No se propone cambiar el enfoque del curriculum de matemáticas de la sep, ni los contenidos; sólo se propone que el formato de algunas preguntas o ejercicios utilizados para reforzar los temas oficiales obliguen al cuidadoso examen del problema. Se pueden formular ejercicios como los anteriores lo mismo para álgebra que para geometría, logaritmos, operaciones o cualquier otro tema de matemáticas.
El hábito de examinar cuidadosamente un problema antes de abordarlo no sólo les servirá a nuestros alumnos en la asignatura de matemáticas. En nuestra vida cotidiana somos bombardeados por peticiones de información. Si podemos definir la esencia de lo que se nos pregunta, seremos compañía más agradable, empleados más eficientes o jefes más efectivos. ¿Quién no se ha desesperado con personas que, al preguntarles si les gustó la película de estreno, contestan con la historia de cómo fue que la grúa se llevó su coche al corralón por estacionarlo frente al cine? Evidentemente, la habilidad de comunicarse efectivamente ayuda en cualquier trabajo, y la posibilidad de tansmitir información eficientemente parte de la comprensión correcta de la pregunta.
Por otro lado, muchas pruebas de admisión a diferentes instituciones educativas piden que se lea cuidadosamente la pregunta, y que se escudriñen las respuestas de opción múltiple, para ver el grado de exactitud de la respuesta. Si en una prueba de este tipo las respuestas posibles que se ofrecen a la pregunta:
¿A qué equivale 13/25?, son las siguientes:
a) 0.02
c) 0.52
b) 0.2
d) 2
No es necesario hacer la división, sólo percatarse de que 13/25 es aproximadamente un medio, por lo que la respuesta c debe ser la correcta.
El poner problemas que necesitan examinarse cuidadosamente previo a su resolución se puede hacer en cualquier tema de matemáticas, ayuda a pensar y comunicarse en forma más precisa y contribuye a llegar al estadio de las operaciones formales, etapa culminante del desarrollo cognoscitivo.
REVOLUCIONES EN LA CIENCIA desde la antiguedad hasta nuestros días:
La revolucio científica s.XV-XII
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